Рассмотрим вычисление свертки с некоторой функцией , которая в свою очередь является производной другой функции .

(1)

Как определять в этом случае нормировочную константу ? Если в качестве функции  выбрана четная функция, например функция гаусса, то обычный подход вычисления константы из условия

(2)

неприемлем, так как интеграл от нечетной функции равен нулю. С чем связана проблема нормировки таких функций? Часто рассматривают свертки с симметричными функциями, определенными на бесконечной оси, например функцией Гаусса

(3)

При работе с цифровыми сигналами очевидно, что производить интегрирование на бесконечном интервале невозможно, хотя бы по тому, что сигнал конечен. Более того, учитывая, что такие оконные функции обычно быстро убывают по мере удаления от нуля, это оказывается и не рациональным, так как погрешность аппроксимации вида:

,

(4)

а в общем случае произвольной функции  -

(5)

не велика. Однако, при такой аппроксимации нормировка вида (2), оказывается слегка нарушенной, что часто неприемлемо, так как приводит изменению важных интегральных характеристик сигнала после свертки с такой функцией, таких как среднее значение (в случае обработки изображений –средней яркости). Поэтому нормировочную константу  в таких случаях никогда не вычисляют по формуле для идеального распределения на бесконечной оси, как в (3), а вычисляют для реально используемого распределения (функции) как

(6)

Или, переходя к дискретным величинам:

(7)

В тех случаях, когда требуется выполнить свертку с функцией, представляющей собой производную от некоторой функции типа плотности вероятности, весовой или оконной функции, для которой нормировка типа (6),(7) имеет смысл (интеграл от функции не нулевой), разумно действовать следующим образом. Найдем константу  так, чтобы аппроксимация  вида (5) исходной функции  удовлетворяла условиям нормировки (6),(7) , тогда выполняя следующее рассуждение получаем:

(8)

Рассмотрим:

при условии

получаем соотношение:

Обозначая

получаем рекурентное соотношение:

но ранее было получено

поэтому

Итого

Окончательно:

(9)

(10)

Тогда

(11)

То есть константа с может быть вычислена если известны только значения n-ой производной функции.

Отметим, что альтернативные подходы не верны. Можно было бы с помощью формул (6),(7)  вычислить нормировочную константу,  но аналитическое вычисление не всегда возможно, численный расчет потребует задать формулу вычисления не только n-оц производной функции, но и самой функции, что усложняет программу и повышает вероятность ошибки программирования. Кроме того, вычисленные значения производной имеют погрешности, обусловленные:

ü - конечной точностью машинных вычислений;

ü - дискретной аппроксимацией непрерывной функции.

Действительно, например функция Гаусса на окне размером в 5 отсчетов сигнала (или 5 пикселей), используется довольно часто. Она представляется всего 5 числами, что явно не адекватно отражает ее форму и аналитическое выражение нормирующей константы через функцию ошибок (erf) выглядит по крайней мере надуманным.